Limite di una funzione reale di una variabile reale
Sia f una funzione
reale di una variabile reale, definita
in X R. Sia
un punto di accumulazione per X, al finito o all'infinito. Sia l un numero reale.
Si dice, allora, che la funzione f tende o converge ad l per x tendente ad
o al tendere di x ad
e si scrive:
se ad ogni intorno U di l è
possibile associare un intorno I di
in modo tale che ad ogni x appartenente ad I-{
}
corrisponde un f(x) appartenente a U; in simboli: x
I - {
}
f(x)
U
[l'implicazione precedente sta a significare che, comunque si prendano i punti
x dell'intorno I (e tali punti devono essere diversi da ,
cioè si considera l'intorno I escluso il punto
),
i valori della funzione f corrispondenti a tali punti, cioè le f(x),
appartengono a U.]
Il numero l è detto il
limite della funzione f in e la formula
scritta sopra si legge limite per x che tende ad
di f(x) è uguale ad l. Possiamo, quindi, dire che la funzione f tende
al limite l al tendere di x ad
. Osserviamo
inoltre che vale il
Teorema dell'unicità
del limite:
Una funzione f che ammetta limite l per x tendente ad
non può tendere in
a due limiti
distinti, cioè il limite l è unico.