Limite di una funzione reale di una variabile reale

Sia f una funzione reale di una variabile reale, definita in X R. Sia un punto di accumulazione per X, al finito o all'infinito. Sia l un numero reale. Si dice, allora, che la funzione f tende o converge ad l per x tendente ad o al tendere di x ad e si scrive:

se ad ogni intorno U di l è possibile associare un intorno I di in modo tale che ad ogni x appartenente ad I-{} corrisponde un f(x) appartenente a U; in simboli: x I - {} f(x) U
[l'implicazione precedente sta a significare che, comunque si prendano i punti x dell'intorno I (e tali punti devono essere diversi da , cioè si considera l'intorno I escluso il punto ), i valori della funzione f corrispondenti a tali punti, cioè le f(x), appartengono a U.]

Il numero l è detto il limite della funzione f in e la formula scritta sopra si legge limite per x che tende ad di f(x) è uguale ad l. Possiamo, quindi, dire che la funzione f tende al limite l al tendere di x ad . Osserviamo inoltre che vale il

Teorema dell'unicità del limite:
Una funzione f che ammetta limite l per x tendente ad non può tendere in a due limiti distinti, cioè il limite l è unico.