Un insieme
è una classe di oggetti. Gli oggetti si chiamano elementi di un insieme.
Gli insiemi e gli elementi che li compongono vengono denotati con lettere,
maiuscole e minuscole rispettivamente.
Sia I
un insieme. Per indicare che x è un elemento dell’insieme I si usa la
notazione:
x Î I
che si
legge x appartiene ad I.
Per
indicare, invece, che x non è un elemento dell’insieme I si usa la
notazione:
x ÏI
e che si
legge x non appartiene ad I.
Siano I e J due
insiemi. Se, ogni elemento di J appartiene anche ad I, allora si
dice che J è incluso in I o che J è contenuto in I e si scrive: J Í
I , oppure si
dice che I include J e si
scrive: I Ê
J, (in questo
caso si dice che J è un sottoinsieme di I).
Se esiste
almeno un elemento di I che non appartiene a J si dice che J è
un sottoinsieme proprio di I e si scrive:
Sia dato
un insieme I; se vogliamo indicare esplicitamente i suoi elementi
possiamo usare le parentesi graffe e scrivere, ad esempio:
I = { x1
, x2 , ….. }
L’ insieme
vuoto è l’insieme che non contiene alcun elemento; esso si indica con il
simbolo Æ. L’insieme vuoto,
naturalmente, è sottoinsieme di ogni insieme.
Siano I ed J due insiemi. Si
definisce intersezione di I e J e si denota con I Ç J l’insieme costituito
dagli elementi che appartengono contemporaneamente a I e d J,
cioè
Due insiemi I ed J si dicono disgiunti
se la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto, cioè se:
I Ç J = Æ
Si
definisce unione di I ed J e si denota con I U J l’insieme
costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi, cioè
l’insieme di tutti gli elementi che
appartengono a I e a J. In
simboli si scrive :
Si
definisce differenza tra I ed J e si denota con I – J l’insieme di tutti gli elementi di I che non
appartengono ad J. In simboli si scrive:
Insiemi
particolarmente importanti sono l’insieme N dei numeri naturali:
l’insieme Z dei numeri interi relativi:
l’insieme
Q dei numeri razionali ed, infine, l’insieme R dei numeri reali.
L’intervallo
chiuso di estremi a e b, [a, b
], èdefinito dalla disuguaglianza:
a £ x £ b
Gli
intervalli ]a,b[, ]a,b] e [a,b[ sono intervalli
limitati ai quali mancano rispettivamente i due estremi (intervallo
aperto), l'estremo a (intervallo aperto
a sinistra) e l'estremo b (intervallo aperto a destra).
E’ possibile definire anche gli intervalli
non limitati. Più precisamente, si chiama intervallo chiuso non limitato
superiormente di estremo inferiore a e si denota con [a, +¥[ l’insieme di tutti i numeri reali x che soddisfano
la seguente disuguaglianza:
x ³ a
Si chiama intervallo
aperto non limitato superiormente di estremo inferiore a e si denota con ]a,
+¥[ l’insieme
di tutti i numeri reali x che soddisfano la seguente disuguaglianza:
x > a
Si chiama intervallo
chiuso non limitato inferiormente di estremo superiore b e si denota con ]-¥, b] l’insieme di tutti i numeri reali x
che soddisfano la seguente disuguaglianza:
x £ b
Si chiama intervallo
aperto non limitato inferiormente di estremo superiore b e si denota con ]-¥, b[ l’insieme di tutti i numeri reali x
che soddisfano la seguente disuguaglianza:
x
< b
Geometricamente,
tali intervalli sono rappresentabili mediante delle semirette che
contengono o meno il loro punto di origine.